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„Zauberformel“ für Treppenbauer

Sinuskurve: Mit Sicherheit zum richtigen Steigungsverhältnis
„Zauberformel“ für Treppenbauer

Sozusagen „Weltpremiere“ hat der hier vorliegende Beitrag von Dipl.-Ing. (FH) Hellmut Müller. Er hat eine Formel entwickelt bzw. gefunden, mit der sich für sämtliche Treppen, die man vorwärts herabsteigt, das richtige Steigungsverhältnis ermitteln lässt. Der besondere Clou: Die Formel gilt von der sehr flachen bis hin zur sehr steilen Treppe, einschließlich Steil-treppen mit wechselseitig ausgesparten Stufen.

Der Autor Dipl.-Ing. (FH) Hellmut Müller ist Mitinhaber der Firma WM Treppenbau GmbH, 65589 Hadamar

Bei der Planung und Konzeption einer Treppe ist insbesondere die gute Begehbarkeit zu berücksichtigen. Wird diese unabdingbare Priorität missachtet, verfehlt der Treppenbauer auch trotz guter Ausführung sein Ziel. Wie für jede Treppe die gute Begehbarkeit mit einer allgemeingültigen einheitlichen Richtlinie erreicht wird, soll in diesem Beitrag für die Praxis zugänglich gemacht werden.
Für die gute und sichere Begehbarkeit von Treppen ist das richtige Steigungsverhältnis von entscheidender Bedeutung. Damit wird der Grundstein für die Qualität einer Treppe gelegt. Schon seit mehr als 300 Jahren werden die Treppen hauptsächlich nach der von dem französischen Mathematiker, Ingenieur und Architekt Francois Blondel 1683 aufgestellten Schrittmaßformel, konzipiert:
2 x Steigung + 1 Auftritt = 63 cm
oder 2 S + A = 63
Unter Berücksichtigung des Toleranzbereiches soll das Schrittmaß zwischen 59 und 65 liegen, also 2 S + A = 59 … 65 (siehe Abb. 1). Dabei gilt unbestritten für eine optimal gut begehbare Treppe ein Steigungsverhältnis von 17 cm Steigung und 29 cm Auftritt bzw. 17,5 cm Steigung und 28 cm Auftritt. Diese Steigungsverhältnisse stimmen auch mit der Schrittmaßformel 2 S + A = 63 überein. Solche gut begehbaren Treppen sind jedoch oft deshalb nicht zu realisieren, weil der dafür erforderliche Platz nicht vorhanden ist. Das stellte auch Mielke(1) fest: „Das Steigungsverhältnis ist gewissermaßen die Resultante des zur Verfügung stehenden Platzes im Grundriss und der Geschoss-höhe.“
Optimales Schrittmaß aus vorgegebenen Maßen
Oft ist der zur Verfügung stehende Platz kleiner, selten größer. Die Treppen müssen somit steiler bzw. flacher konzipiert werden, d. h., das Steigungsverhältnis ändert sich. Jetzt kommt es darauf an, das Steigungsverhältnis – unter Berücksichtigung der vorhandenen Raummaße – so zu konzipieren, dass eine gut begehbare Treppe entsteht und eine schlechte Lösung vermieden wird. Für die optimale Festlegung bzw. Dimensionierung der Steigung mit entsprechendem Auftritt ist die gebräuchliche Schrittmaßformel 2 S + A = 63 nur bedingt in einem engen Bereich brauchbar, nach Reitmayer(2) nur mit mittleren Stufenhöhen passend. Für flachere Treppen empfiehlt Mannes(3) Steigungsverhältnisse, die ca. der Formel 2,75 S + A = 73 entsprechen. D. h., die Steigungen werden im Verhältnis zum Auftritt größer als bei der 63er Schrittmaßformel.
Bei steileren Treppen ist es umgekehrt: Die Steigungen werden im Verhältnis zum Auftritt kleiner. Dieser Verlauf der Steigungsverhältnisse geht auch aus der Tabelle im HKH-Meisterbuch (NRW 1989) hervor und entspricht der Formel 3 x Steigung + Auftritt = 81.
Noch wesentlich kleiner als bei der 63er Schrittmaßformel sind die Steigungen bei Steiltreppen mit wechselseitig ausgesparten Stufen. Sie liegen bei 20 bis 24 cm. Diese Werte bzw. Formeln als Diagramm aufgezeichnet, ergeben eine mehrfach abgeknickte Linie mit jeweils verschiedenen Formeln (Abb. 2). Schon Reitmayer stellte fest, dass mit einer linearen Formel alle zulässigen Variationen überhaupt nicht erfasst werden können. Die Knicklinie ist ungleichmäßig und deshalb auch nicht optimal (natura non facit saltus). Mit abgerundeten Ecken entsteht ein harmonischer Kurvenverlauf entsprechend dieser Formel:
S = 9,0 cos (2,9 A – 14) + 14
Diese Formel (Sinuskurve) erfasst alle Treppen, die man auch vorwärts herabsteigt einschließlich Steiltreppen mit wechselseitig ausgesparten Stufen (Abb. 3).
Situation bei wechselseitig ausgesparten Stufen
Das Steigungsverhältnis an Steiltreppen mit wechselseitig ausgesparten Stufen nach der 63er Schrittmaßformel mit 2 x Steigung + doppeltem Auftritt (2 S + 2 A = 63) zu bestimmen ist nicht richtig, auch dann nicht, wenn dies in verschiedener Fachliteratur so zu finden ist, bzw. in Produktbeschreibungen die doppelte Auftrittsbreite als ein Auftritt bezeichnet wird. Bei versetzt ausgesparten Stufen kann der Auftritt schon deshalb nicht doppelt angerechnet werden, weil das Steigungsverhältnis und die Begehbarkeit nicht anders ist als bei jeder anderen Treppe auch, ein-schließlich Bodentreppen und Trittleitern. Allerdings ist es durch die wechselseitig ausgesparten Stufen möglich, die Treppe in der Regel auch vorwärts herabzusteigen, jedoch mit dem Nachteil, dass man nur mit einem bestimmten Fuß beginnen kann. Das gilt sowohl fürs Hinauf- als auch fürs Herabsteigen. Weil beim vorwärts Herabsteigen eine stärkere Stoßbelastung auftritt, werden Steiltreppen mit versetzt ausgesparten Stufen allgemein stabiler gebaut als Bodentreppen (und Leitern), die man in der Regel rückwärts herabsteigt. Die in mancher Fachliteratur für Steiltreppen, mit wechselseitig ausgesparten Stufen angegebene (nicht richtige) Schrittmaßformel 2 S + 2 A = 63 stimmt nur in einem Punkt mit der Kurve der Sinusformel überein, nämlich bei der Steigung 22,83 cm mit entsprechendem Auftritt 8,67 cm. Darunter und darüber verläuft die Linie der Formel 2 S + 2 A = 63 irrelevant und ergibt dementsprechend schlechte und somit unbrauchbare Steigungsverhältnisse (Abb. 4).
Beispiel: In verschiedenen Fachbüchern wird zur Veranschaulichung eine Treppe (des Architekten E. Violet-le-Duc, 1814-1879) mit nachträglich abgeänderten Dreiecksstufen beschrieben (Abb. 5). Die Treppe hatte vorher ein Steigungsverhältnis von 30 cm Steigung und 30 cm Auftritt, somit ein viel zu großes Schrittmaß. Nachträglich wurde an jeder Stufe diagonal eine halbe Steigung herausgetrennt, wodurch sie nun ein Steigungsverhältnis von 15 cm Steigung + 15 cm Auftritt hat. Würde man hierfür die (nicht richtige) Schrittmaßformel 2 S + 2 A = 63 anwenden, müsste die Treppe mit Schrittmaß 60 relativ gut begehbar sein. Dem ist jedoch nicht so, denn diese Treppe hat ein Schrittmaß von 2 x 15 cm Steigung + 1 x 15 cm Auftritt = 45 cm. Das ist erheblich zu klein und die Treppe ist deshalb schlecht zu begehen. Sie ist eine unsichere und nicht ganz ungefährliche Stolpertreppe.
Bodentreppen und Trittleitern
Für Bodentreppen und Trittleitern (und Leitern) gelten größere Steigungen, weil man sie in der Regel rückwärts herabsteigt. Die Stoßbelastung (kinetische Energie = Wucht) ist dabei erheblich geringer als wenn man vorwärts herabsteigt und dabei fast ungebremst und kaum abgefedert, mit voller Wucht auf die Stufen tritt.
Nicht ausgesparte Steiltreppen sind für ein vorwärts gerichtetes Hinabsteigen ungeeignet, weil die Unterschneidung der Stufen dabei gegenstandslos ist und mangels Aussparung man sehr unsicher nur mit dem Absatz die Stufen betreten würde. Im Gegensatz dazu betritt man beim rückwärtigen Herabsteigen mit der vorderen bis mittleren Fuß-fläche (je nach Unterschneidung) die ganze Stufe oder Sprosse viel sicherer und abgefedert weicher mit weniger Wucht. Dem entsprechend können Steigungen erheblich größer und die Treppen (bzw. Leitern) schwächer dimensioniert sein. Gemäß DIN 820 liegt die Steigung für Bodentreppen zwischen 23 und 30 cm.
Praktische Anwendung der Sinusformel
Die bisher bekannten Formeln und Regeln erfassen nicht das gesamte Spektrum und die vorhandenen Nebenregeln verunsichern teilweise mehr anstatt Klarheit zu erreichen. Als Beispiel sei auf die so genannte Sicherheitsregel A + S = 46 cm und insbesondere die so genannte Bequemlichkeitsregel A – S = 12 erwähnt, auf die in der Fachliteratur und auch in der DIN hingewiesen wird.
Sie stimmen beide nur in einem Punkt (Steigung = 17 cm und Aufritt = 29 cm) mit dem optimalen Steigungsverhältnis überein. Für wesentlich flachere und steilere Treppen verlaufen die Linien dieser Formeln irreal. Solche Treppen sind nur schlecht und gefährlich zu begehen. Deshalb sind diese Formeln unbrauchbar und überflüssig (Abb. 4).
Die Sinusformel dagegen erfasst den gesamten Bereich der Treppen, die man vorwärts herabsteigt – von der sehr flachen bis zur sehr steilen Treppe einschließlich Steiltreppen mit wechselseitig ausgesparten Stufen mit dem jeweils richtigen Steigungsverhältnis. Nachdem die Anzahl der Stufen (Steigungen) ganzzählig sein muss, jedoch die dafür entsprechende Auftrittsbreite für ein optimales Steigungsverhältnis wegen (manchmal) unveränderlicher Lauflinienlänge nicht möglich ist, bedarf es eines Toleranzbereiches, ähnlich der Schrittmaßformel 2 S + A = 59 … 65 cm. Um die gute Begehbarkeit nicht unnötig stark zu beeinträchtigen, sollte dieser Toleranzbereich einerseits so gering wie möglich sein, andererseits müssen damit aber alle Zwischenmaße lückenlos erfasst bzw. überbrückt werden.
Danach ist unter Zugrundelegung von mindestens 14 Steigungen die erforderliche größte bzw. kleine Steigung (siehe Abb. 6)
Smax = 9,1 cos (2,9 A – 16,5 ) + 14,7
Smin = 8,9 cos ( 2,9 A – 11,5 ) + 13,3
Je nach Auftrittsbreite beträgt der Toleranzbereich der Steigungen somit ( 7 mm bis ( 11 mm. Bei mehr als 14 Steigungen ist die erforderliche Toleranz kleiner und umgekehrt ist sie bei weniger als 14 Steigungen größer. Treppen, die nach diesen Maßen gebaut werden, gewähren gute, sichere Begehbarkeit und helfen vermeidbare Unfälle zu verhüten.
Die allgemeine Sinusformel
S = 9,0 cos (2,9 A – 14) +14 bzw.
cos (2,9 A – 14) = (S – 14) : 9
sieht im ersten Augenblick komplizierter aus als sie ist, denn mit jedem wissenschaftlichen Taschenrechner kann man relativ einfach und in einem Rechengang den jeweiligen Wert ermitteln. Noch einfacher aber ist es, aus der beiliegenden Tabelle abzulesen (Abb. 7), oder den jeweils passenden Wert an der Sinuskurve abzugreifen (Abb. 6).
Schlussbetrachtung
Für die Qualität einer Treppe sind außer dem Design und fachgerechter Herstellung hauptsächlich die Standsicherheit und insbesondere die gute Begehbarkeit von entscheidender Bedeutung. Die schönste und auch stabilste Treppe erfüllt ihre Hauptaufgabe nicht, wenn die funktionalen Zusammenhänge von Steigung und Auftritt nicht optimal berücksichtigt werden. Der renommierte Architekt Alvar Aalto verwies in diesem Zusammenhang auf Dante (1635 – 1707), der in seiner „Göttlichen Komödie“ feststellte, dass an der Hölle das Schlimmste sei, dass die Treppen dort falsche Proportion haben (Aalto 1957).
Mielkes Recherchen lassen die Schlussfolgerung zu, dass es in der Vergangenheit wohl viele Versuche gab, diese Problematik allgemein zu lösen, jedoch keine grundlegenden Forschungen hie-rüber bekannt sind. So blieb das für die Nutzung so wichtige Steigungsverhältnis leider untergeordnet. Die Entwicklung der Sinusformel hat das Problem gelöst und diesen Mangel behoben. o
Literatur
(1)Mielke, Friedrich: Handbuch der Treppenkunde, Verlag Th. Schäfer, Hannover 1993
(2)Reitmayer, Ulrich: Holztreppen in handwerklicher Konstruktion, Julius Hoffmann Verlag, Stuttgart 1982
(3)Mannes, Willibald: Technik des Treppenbaus, Deutsche Verlags Anstalt Stuttgart 1979
Templer, John A. The staircase: studies of hazards, falls, and safer design, Massachusetts Institute of Technology 1992
DIN 18065 (2 s + a = 59 … 65)
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